Теория множеств с самопринадлежностью и теория меры (основания и приложения)

Описание

В книге описаны результаты теории множеств с самопринадлежностью, связанные с основаниями теории меры и имеющие приложения,— это результаты следующие по отношению к предыдущей монографии автора по данной теме.
Подробно рассмотрена история попыток доказательств непротиворечивости математики (от оснований геометрии до теории множеств) и доказательство непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью; указано, что доказательство непротиворечивости имеется только для самоссылочных (непредикативных) теорий); описаны свойства и приложения непредикативности.
Описана иерархия уровней бесконечности: конечные множества, счётные множества, недостижимые множества и множество всех множеств (которое не является недостижимым); указано, что эти уровни замкнуты, из конечных множеств конечными комбинациями получаются конечные, из счётных счётными и недостижимыми комбинациями — счётные, из недостижимых — недостижимые (мощность множества всех множеств не выразима мощностью упорядоченных структур).
Указано на структурный изоморфизм цепи 10-деревьев (обозначений десятичных чисел), покрывающий структурный изоморфизм нити недостижимых последователей (точек на прямой),— что служит одним из оснований теории меры. Доказаны теоремы о счётной (конечной) вычислимости неподвижной точки, связывающие математику непрерывных величин и вычислительную математику.
Описаны основания теории меры, необходимость эталона меры, его воспроизводимость и самоизмеримость. На этом основании очевидно строится классический математический анализ, теории дифференциала и интеграла (где бесконечно-малые величины — это убывающие до 0 переменные).
Приложения результатов теории множеств с самопринадлежностью и теории меры относятся к теории управления, теории вероятностей, решению проблем обоснования математики.
Книга предназначена для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов вузов, интересующихся основаниями и приложениями математики.

Содержание

Оглавление ............................................................................................4
Предисловие ..........................................................................................6
Часть 1. Методологические основания.......................................................7
Глава 1. Методологические основания................................................7
§1. Онтологические основания построения теории меры...............7
Часть 2. О непротиворечивости и непредикативности..............................9
Глава 2. О непротиворечивости теории множеств..............................9
§2. Обращение теоремы Гёделя о непротиворечивости..................9
§3. Обращение теоремы Гёделя о неполноте .................................10
§4. Исторические периоды развития доказательств непротиворечивости ........................................................................12
Глава 3. Ещё о непредикативности ....................................................20
§5. О предикативности лямбда-исчисления...................................20
§6. Самопринадлежность: около аксиомы фундирования ............22
§7. Необходимость непредикативности в основаниях математики..........................................................................................................28
§8. Об алгоритмической неопределимости вероятностной меры.32
§9. Об обосновании логического вывода .......................................33
§10. Непредикативная полнота и предикативная неполнота теорий..........................................................................................................36
Часть 3. Уровни бесконечного и порядковые структуры........................38
Глава 4. Уровни бесконечного ...........................................................38
§11. О счётности последователей типа PN.....................................38
§12. О счётности множества подмножеств счётного множества..42
§13. Изоморфизм недостижимых последователей типа РО..........44
§14. О недостижимой мощности множества подмножеств множества недостижимой мощности .............................................46
§15. Иерархия уровней бесконечности...........................................47
Глава 5. Порядковые структуры.........................................................48
§16. О счётномерных ориентированных пространствах ...............48
§17. Структурный изоморфизм цепи n-деревьев и теория меры ..49
Часть 4. Теория меры.................................................................................53
Глава 6. Основания теории меры .......................................................53
§18. Теоремы об отделимости (сепарабельности) .........................53
§19. Порядковая числовая структура одномерия...........................54
§20. Эталон меры и его необходимые свойства.............................55
§21. Связь теории меры с классическим математическим анализом.........................................................................................................57 Часть 5. Приложения результатов ............................................................58
Глава 7. Счётная вычислимость неподвижной точки .......................58
§22. К обоснованию вычислимости решения задачи управления 58
§23. О счётной (конечной) вычислимости неподвижной точки ...59
Глава 8. Приложения к теории управления.......................................62
§24. Трёхмерность структуры задач управления ...........................62
§25. Трёхмерность задач управления и управление качеством ....64
§26. Дополнение: ещё раз о теореме о размерности......................66
§27. Приложения теоремы о размерности......................................70
Глава 9. Решения отдельных математических проблем ...................72
§28. Об однозначной невозможности первой проблемы Гильберта..........................................................................................................72
§29. К разрешению парадокса Банаха-Тарского............................75
Глава 10. Непредикативный вывод модели равновесия экономики 78
§30. Непредикативный вывод основного логистического уравнения .........................................................................................78
Заключение ................................................................................................80
Послесловие ........................................................................................81
Список литературы .............................................................................82
Указатель имён....................................................................................90
Предметный указатель